Matemáticas y Estadistica Cuarto Periodo

 RAZONES Y PROPORCIONES

Razones. 

Una razón es la expresión numérica de comparación entre dos magnitudes.

Notación de una razón. La razón entre a y b se escribe a/b, a: b o a÷b, y se lee: “a es a b”. El primer término de la razón (a) se denomina antecedente, y el segundo (b), consecuente.

Si quieres conseguir una razón equivalente la puede ampliar o simplificar.

Ejemplo: Paulita encontró una receta para cobertura de chocolate: 

• 70 g de azúcar glass.
• 60 g de mantequilla.
• 2 cucharadas de agua.
• 3 cucharadas de cocoa.

¿Cómo puede expresarse una relación entre la cantidad de azúcar y la cantidad de mantequilla que se necesita?

Solución: Para comparar la cantidad de azúcar con la mantequilla se puede utilizar una razón

70            ⇾    gramos de azúcar

60            ⇾    gramos de mantequilla

En la anterior relación se establece que la razón entre la cantidad de gramos de azúcar y la cantidad de gramos de mantequilla es: 70 a 60, respectivamente.

70/60  = (70 ÷10)/(60÷10) = 7/6        o      70/60  = (70 x10)/(60 x 10) = 700/600    

Proporciones. 

Dos razones equivalentes forman una proporción.

Las razones entre las proporciones   a/b   y    c/d      se escribe  a/b  =  c/d    Y se lee: a es a b como c es a d “.  Los términos a y d se denominan extremos y los términos b y c, medios.

Ejemplo: la proporción   6/4  =  12/8  se lee: “6 es a 4 como 12 es a 8”. Los extremos de la proporción son 6 y 8 y los medios son 4 y 12.

Propiedad Fundamental de las Proporciones. En toda proporción el producto de los extremos es igual al de los medios. Esto permite confirmar si dos razones son una proporción o no.

IGUALDADES, ECUACIONES E INECUACIONES.

Igualdades. La igualdad es una relación entre dos expresiones que representan un mismo valor. Las igualdades tienen dos miembros separados por un signo igual (=).

Una igualdad actúa como una balanza en equilibrio, como se observa en la gráfica:  3+7= 10

Ejemplo: Observe los siguientes ejemplos de igualdades matemáticas. En todos se obtiene 20

4 x 5 =20

10 + 5 + 3 + 2 = 20

30 – 8 – 2 = 20

200 /10 = 20

 Propiedades de las igualdades. la igualdad se conserva: 

• Al adicionar o sustraer la misma cantidad en ambos miembros de una igualdad.
• Al multiplicar o dividir ambos miembros de una igualdad por una misma cantidad diferente de cero, la igualdad se conserva.

Ejemplo 1

Dada la igualdad   20 + 5 = 25 adicionamos 10 a cada miembro de la igualdad:

 20 + 5 + 10 = 25 +10  ⇒  25+5+10 = 35   y 25 +10 =35, se conserva la igualdad. 

Ecuaciones. Una ecuación es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente por letras.

La ecuación se resuelve cuando se encuentra el valor o los valores que hacen verdadera la igualdad. Este valor recibe el nombre de solución.

Ejemplo 1:  x + 25 = 36

Procedimiento. Se deben trasladar los sumandos al otro lado de la igualdad cambiando su signo:

x= 36-25, luego se procede a realizar la operación que queda visible, para el caso 36-25 = 11

Entonces quedaría la nueva expresión así: x = 36-25 = 11 ⇒Solución:  x = 11

Ejemplo 2 (y) = 21

Procedimiento. Como se puede observar entre (3) y (y) hay una operación de multiplicación, al igual que en el ejemplo anterior se traslada al otro lado de la igualdad el valor conocido (3), pero como se estaba multiplicando a (y), este pasará a hacer la operación contraria: dividir. La nueva expresión quedaría así: (3)(y) = 21 ⇒  y = 21/3 = 7    ⇒Solución     y = 7

Observación: Algunos matemáticos utilizan valores desconocidos con letras mayúsculas, otros con letras minúsculas, pero cuando se combinan los dos, eso indica que las mayúsculas son valores desconocidos y las minúsculas, conocidos, y que en el problema o fórmula se generalizan, pero estos valores (los conocidos) serán dados. EJ:  abB = c, El valor B es desconocido y el resto son valores que se le entregarán en el problema, es decir, conocidos.

En los libros de matemáticas del siglo pasado por lo general se usaban las letras mayúsculas X, Y y Z para valores desconocidos. Aún se siguen usando.

Ejemplo 3 

3y = 21, para solucionar esta ecuación también se presenta este procedimiento: se divide entre 3 ambos miembros de la igualdad. Se obtiene (3y)÷3=21 ÷3 ⇒  y = 7

Ejemplo 4     

 z/10 = 40   ⇒ multiplique cada miembro de la igualdad por 10, entonces:

10( z/10) = (40) (10)  ⇒   Z = 400

Verificación de una solución: Solo se reemplaza el valor que corresponde a la solución en la ecuación inicial. Apoyémonos en Ejemplo 4:  Z/10 = 40 ⇒   400/10  = 40

Inecuaciones: O desigualdades, son relaciones entre expresiones matemáticas que no representan el mismo valor. Las desigualdades tienen dos miembros separados por algunos de los siguientes símbolos: Menor que (<); mayor que (>); menor o igual que( ≤) y por último, mayor o igual que (≥).

Una desigualdad que tiene al menos una variable (valor desconocido) se denomina inecuación.

Expresiones de desigualdades son: 10 > 5; 5 < 12; 2 + 4+ 3 > 3.

Expresiones de inecuaciones son:  X + 8 > 15; 25 < Y; y     6 + m = 23.

Las soluciones de una inecuación son los valores que pueden tomar la incógnita, de tal manera que al sustituirlos en la inecuación hacen que la desigualdad sea cierta.

Ejemplo:  x + 7 > 12, esta es cierta para todos los valores mayores que 5, pues si se toma X = 6 tendremos que 6+7 > 12, y se cumple la desigualdad, pero si se toma X = 5, se tiene que 4+7 < 12, es decir que la desigualdad sería falsa porque no se cumple.

Para resolver una inecuación se tiene en cuenta dos reglas básicas:

La regla de la suma: Si a los dos miembros de la inecuación se le suma o resta un mismo número, se obtiene una inecuación equivalente.

Ejemplo: 5+ m > 12, si le sumamos 2 tenemos (5+m) +2 > 12 +2 ∼ 7 + m > 14

símbolo de equivalencia: ∼

La regla del producto: Si los dos miembros de una ecuación se multiplican o se dividen por un mismo número natural diferente de cero, se obtiene otra inecuación equivalente.

Para solucionar la inecuación 5 + m > 13, si se le resta 5 a lado y lado de la inecuación de manera que: 5 + m -5 > 13-5, de donde quedara m > 8

GEOMETRÍA

Construcción bidimensional de sólidos. Un sólido se puede representar bidimensionalmente mediante el desarrollo en el plano.

Veamos la representación de algunos desarrollos para construir una pirámide rectangular:

Representación de sólidos mediante dibujos. Los prismas, pirámides cilindros y conos se pueden representar mediante dibujos teniendo en cuenta ciertas características, como la perspectiva.

Pasos para dibujar un paralelepípedo

ESTADÍSTICA

Experimentos aleatorios y no aleatorios.

Experimentos Aleatorios. Cuando no se puede saber el resultado de un experimento, aunque se repita muchas veces, se llama experimento aleatorio. Por EL  contrario, cuando se sabe de antemano el resultado de un experimento, se le llama determinista.

Observa algunos tipos de experimentos en la siguiente Tabla:

Experimentos
Aleatorios	Deterministas
El lanzamiento de un dado	Mezclar pintura Azul y Roja para obtener violeta
El lanzamiento de una Moneda	Multiplicar 4 x 5 para obtener 20
Sacar una carta de la baraja de póker	Congelar agua a -2 grados Celsius
Elección de un candidato a la presidencia	Si tiras un objeto hacia arriba caerá.

Al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio se le llama Espacio Muestral y se denota con la letra E.

Ejemplo: 

• Lanzar una moneda: Hay solo dos posibles posibilidades: E = {cara, sello}
• Lanzar dos monedas: E = {(cara, cara), (cara, sello), (sello, cara), (sello, sello)}
• Lanzar un dado: E = {1,2,3,4,5,6}

Sucesos aleatorios. A los subconjuntos de un espacio muestral se les llama suceso o eventos.

Se representan con letras mayúsculas y se designan escribiendo entre llaves los posibles resultados que pueden darse.

Ejemplo: 

En el experimento de lanzar un dado con las caras numeradas o codificadas del 1 al 6, el espacio muestral es: E= {1,2,3,4,5,6}

Algunos sucesos aleatorios de E son:

Salir un numero par: E= {2,4,6}                       

Salir un número impar: E= {1,3,5}

Salir un número múltiplo de 3: E = {3, 6}

Tipos de Sucesos.

·         Suceso elemental: Es el formado por un solo resultado.

·         Suceso compuesto: Es el formado por más de un resultado.

·         Suceso seguro: Es el que ocurre siempre en determinado experimento.

·         Suceso imposible: Es el que nunca ocurre en un determinado experimento.

Ejemplo: Para el próximo mundial de fútbol debes tener en cuenta los diferentes tipos de sucesos, como se muestra en la siguiente Tabla:

Tipos de suceso	Un posible ganador del torneo será:
Elemental	El que ha ganado más copas mundiales: A= {Brasil}
Compuesto	El que ya ha sido campeón mundial: B= {Brasil, Alemania, Italia, Argentina, España, Inglaterra, Francia, Uruguay}
Seguro	Uno de los equipo clasificados y seleccionados para el próximo mundial
Imposible	Uno de los equipos no clasificado, ni seleccionado para el próximo mundial

PROBABILIDAD DE UN EVENTO. 

Probabilidad de Un Suceso Aleatorio. La probabilidad de un suceso es un número del 0 al 10 que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.

Ejemplo:

En una rifa se vendieron 100 boletas numeradas del 1 al 100. Pedro compro dos boletas y María compro quince.

Las posibilidades que tiene cada uno de ganar la rifa se indica con los siguientes cocientes:

Pedro: 2/100 = 0,02 = 2%                     María:   15/100 = 0, 15 = 15% 

Cada cociente es un número entre 0 y 10 que indica la probabilidad que tiene Pedro y María de ganar. En este caso maría tiene mayor probabilidad de ganar que Pedro.

Cuando en un experimento aleatorio todos los resultados tienen las mismas posibilidades de Salir, se calcula la probabilidad de un suceso con la regla de Laplace: “La probabilidad de un suceso A como el cociente entre el número de resultados favorables que ocurra en el suceso A, en el experimento y el número de resultados posibles del experimento” 

P(A)= (Número de caso favorables)/(Número de casos posibles)

Ejemplo: en un salón de clases hay 16 niñas y 15 niños. Se escribe el nombre de cada uno de ellos en una tarjeta y se introducen en una urna las 30 tarjetas. A continuación, se extrae una sola tarjeta

La probabilidad de que la tarjeta extraída muestre el nombre de un niño es:

 14/30=  7/15  = 0, 466 ≈  47%.

La probabilidad de que la tarjeta extraída muestre el nombre de una niña es:

 16/30  =  8/15  = 0, 533≈53% 

ACTIVIDAD 1

1. Encuentra dos razones equivalentes a cada una de las siguientes razones:

a.  3/5                                    b.    7/4                                 c.    2/9                               d.  1/5

2. Interpreta cada enunciado mediante una razón matemática:

• Tres estudiantes por cada profesor.
• Cuatro mujeres por cada veinte concursantes.
• Treinta lápices rojos por cada quince lápices negros.

3. Indica si los datos presentados en la Tabla forman una proporción. Explicar la respuesta.

 

Venta de Cuadernos
Números de Cuadernos	Precio ($)
2	6000
3	9000

ACTIVIDAD 2

 1. En una rifa que se realizará en el colegio se tienen papeletas numeradas del 1 al 100.

a. Forma el espacio muestral.

b. Escribe los posibles resultados del suceso: {obtener un número que empiece por 7.}

c. Indica los posibles resultados del suceso; {sacar número que se lea igual de derecha a izquierda que de izquierda a derecha}.

ACTIVIDAD 3

1. Resuelve cada ecuación y verifica su solución.

23 + x = 52               b. 50= t – 1         c. 64 ÷8 + k = 30

2. Resuelve cada inecuación.

Y + 8 > 11              b. 4∙r + 5 ≤ 9          c. 7∙ g – 4 > 10

3. De los ejercicios del punto anterior, representa la solución de cada inecuación en cada semirrecta numérica. 

ACTIVIDAD 4 (REPASO)

ACTIVIDAD 5

Se tiene una caja con dos bolas rojas y tres verdes. Se sacan tres a la vez y se anotan los colores.

a. Escribe el espacio muestral y los posibles resultados del suceso: {salir al menos dos bolas de igual color}

b. En una bolsa hay tres bolas rojas y dos azules. Si se saca una bola roja, ¿Cuál es la probabilidad de que se saque también una bola roja?

ACTIVIDAD 6

1. Toma unas cajitas de tu entorno (de perfumes, de cigarrillos, de alimentos, etc.) y las desarmas con cuidado. Revisa por la parte de adentro después del desarmado, los dobleces y en papel blanco traslada esas medidas con el apoyo de tu regla y conservando la figura geométrica que observas.

2. Toma de tu entorno materiales como revistas, periódicos, fotografías, catálogos y selecciona las figuras que contengan loas siguientes figuras geométricas, LE TOMAS UNA FOTOCOPIA y a esas formas las resaltas con un marcador, para presentar como anexo de la actividad: Prismas, pirámides, conos o cilindros. 

ACTIVIDAD 7

Realizar en papel bond tamaño carta u oficio las siguientes figuras para armar: 

Nota: No se armarán, se enviarán como material anexo con las actividades, una hoja por diseño.

ACTIVIDAD 8 (REPASO)

Descarga la guía en el siguiente enlace:

Guía Matemáticas 6° Cuarto Periodo